A sa création en 1964, par le capitaine Johannes Solstad, la compagnie exploitait des cargos. L'activité offshore a débuté en 1973 avec la commande de quatre navires de ravitaillement. Le transport de marchandises sèches s'arrêtait en 1998. L'armement devient alors propriétaire-exploitant de navires offshore uniquement. Solstad possède une flotte de 50 AHTS, CSV, PSV en 2014 avec des agences au Brésil, UK, Australie, Singapour.
En août 2015, la société belge G-Tec se dotait du navire de forage "Omalius". Il était utilisé auparavant comme supply à l'offshore pour Solstad où il naviguait sous le nom de "Normand Draupne". Il devait rechanger de nom en mars 2021 pour s'appeler "Geoquip Seehorn" pour le groupe suisse Geoquip Marine. En 2016, la branche française du groupe SeaOwl achetait à Solstad le "Normand Drott", un ancien remorqueur ravitailleur releveur d'ancres, pour en faire un navire plastron de la Marine Nationale. Il sera renommé "VN Rebel". En juillet 2016, Solstad (contrôlé par la holding Aker de l'homme d'affaires Kjell Inge Rokke) annonçait sa fusion avec son compatriote REM Offshore, avec un rapprochement effectif en décembre 2016. Les deux spécialistes des navires supports à l'offshore opèrent à eux deux 62 navires à ce moment-là.
En 2017, les trois opérateurs norvégiens Solstad, Deep Sea Supply et Farstad annonçaient le 6 février la fusion de leurs compagnies sous le nom de Solstad Farstad ASA. Ce nouveau groupe sera le quatrième acteur mondial dans le monde de l'offshore avec 154 navires dont 33 unités de construction, 66 navires d'approvisionnement de plates-formes (PSV) et 55 remorqueurs releveurs d'ancres (AHTS). Le 1er octobre 2018, le nom du groupe est redevenu Solstad Offshore ASA.
En octobre 2021, Solstad vendait sept de ses navires pour recyclage à son compatriote Green Yard Group. Les AHTS "Far Sovereign", "Normand Atlantic", "Normand Borg", "Normand Neptun", "Sea Tiger" et les PSV "Far Strider et "Sea Pollock" étaient sous cocon et jugés obsolètes par la compagnie. Fin juin 2021, Solstad possédait quatre-vingt navires en service et treize sous cocon, vingt-sept navires étaient proposés à la vente. En août et septembre 2021, l'armement annonçait la cession à des tiers des AHTS "Sea Ocelot", "Nor Tigerfish" et "Normand Progress" ainsi que la vente pour recyclage du AHTS "Sea Panther".
En avril 2022, Solstad vendait six autres navires, concluant son plan de rajustement de sa flotte annoncé en 2020, avec un plan de cession de trente-sept navires. Après la vente de la flotte non-stratégique, Solstad Offshore possédait 90 navires en 2022 travaillant dans les secteurs du pétrole, du gaz et des énergies renouvelables offshore.
Le 7 mars 2023, Solstad annonçait qu'il allait quitter l'activité de navires de ravitaillement de plates-formes et signait un accord avec le groupe US Tidewater pour la vente de sa flotte de PSV composée de 37 navires, pour 577 millions de dollars. Solstad déclarait que la vente allait réduire sa dette et renforcerait son bilan et sa position de liquidité. Elle permettra aussi au groupe d'accroître sa présence sur le segment des énergies renouvelables. La transaction repositionnait Solstad comme l'un des principaux propriétaires et opérateurs mondiaux d'AHTS et Subsea haut de gamme avec 41 navires offshore essentiels pour réaliser la transition énergétique.
La coentreprise USV, du trio norvégien composé de Solstad, Ostenjo et DeepOcean passait commande en juillet 2023 auprès du chantier naval espagnol Gondan de leur premier navire autonome destiné à l'éolien offshore. Long de 24 mètres pour 7,5 mètres de large, le navire pourra rester 30 jours en opération sans refaire le plein ou recharger. Il sera équipé d'un ROV de travail capable d'atteindre 1500 mètres de profondeurs. Il sera opéré à distance depuis le rivage pour ses opérations d'inspection et de travaux sous-marins. Le navire pourra intervenir dans des conditions de mer difficiles, il devrait entrer en service en 2025.